Allintervallreihen



Eine kurze Übersicht über Definition und elementare Eigenschaften von Zwölftonreihen (Allintervallreihen) ohne musikalische Wertung. Alle Reihen können als MIDI-Dateien angehört (oder heruntergeladen) werden.
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Literatur: Herbert Eimert, Lehrbuch der Zwölftontechnik, Breitkopf & Härtel, Wiesbaden 1952

Allintervallreihen (AIR) sind musikalische Intervallfolgen, in denen jedes der 11 Intervalle der 12-tönigen temperierten Tonleiter (c,c#,d,d#,d,f,f#,g,g#,a,a#,h) genau einmal vorkommt, und gleichzeitig jeder der zwölf Töne genau einmal vorkommt (eine Tonfolge von 12 Tönen definiert eine Folge von 11 aufeinanderfolgenden Tonschritten). Da die Summe aller Intervalle immer gleich ist, nämlich 66 Halbtonschritte, endet jede auf c beginnende Zwölftonreihe auf f#.
Gleiche Töne in verschiedenen Oktaven (also Töne, die sich um ein Vielfaches einer Oktave unterscheiden), werden als identisch angesehen, d.h. die Intervalle der Allintervallreihen werden grundsätzlich aufsteigend interpretiert und bei Überschreitung des Tons h in der Tonfolge der sich ergebende Ton eine Oktave nach unten verlegt. Technisch bedeutet dies, dass jedes Intervall mit seiner Umkehrung identifiziert wird. Jede beliebige Folge der 11 möglichen Intervallschritte definiert natürlich eine Folge von 12 Tönen, aber keineswegs jede davon enthält alle 12 Töne! Es gibt 11! ( = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 =  39916800) verschiedene Intervallfolgen aus den 11 Grundintervallen kleine/große Sekunde, kleine/große Terz, Quart, Tritonus, Quint, kleine/große Sext, kleine/große Septim, aber nur 3856 von diesen ergeben eine Allintervallreihe, also nur etwa jede zehntausendste. Alle diese stehen Ihnen hier zum Ansehen, Herunterladen oder auch zum Anhören (so Ihr System dieses ermöglicht) zur Verfügung. Historisch belegt ist die vollständige Berechnung dieser Reihen durch den Rechner 'Mailüfterl' des österreichischen Computerpioniers Zemanek in den frühen fünfziger Jahren - im Auftrag des Komponisten Hans Jellinek.

Die 8 Modi einer Allintervallreihe

Aus einer gegebenen Allintervallreihe lassen sich durch bestimmte Transformationen einige weitere Allintervallreihen bilden. Diese Transformationen bilden mathematisch gesehen eine Gruppe. Die Transformationen sind der Krebs, die Umkehrung, die Spiegelung an der Quart, die Spiegelung an der Quint sowie beliebige Kombinationen von diesen.
 

Der Krebs

Der Krebs einer Intervallreihe ist die Intervallreihe, bei der die Intervalle der Ausgangsreihe in umgekehrter Reihenfolge erscheinen.

Die Umkehrung

Die Umkehrung einer Intervallreihe ist die Intervallreihe, bei der die Intervalle der Ausgangsreihe durch ihre jeweilige Umkehrung ersetzt sind.

Die Spiegelung an der Quart

Die Spiegelung an der Quart (Intervallzahl 5) ist die Intervallreihe, bei der die Intervallzahlen der Ausgangsreihe jeweils mit 5 multipliziert werden und anschließend enharmonisch in die Ausgangstonleiter vertauscht werden.

Die Spiegelung an der Quint

Die Spiegelung an der Quint (Intervallzahl 7) ist die Intervallreihe, bei der die Intervallzahlen der Ausgangsreihe jeweils mit 7 multipliziert werden und anschließend enharmonisch in die Ausgangstonleiter vertauscht werden.

Diese Transformationen, angewandt auf eine Allintervallreihe, ergeben immer eine Allintervallreihe. Damit ergeben auch Kombinationen dieser Transformationen, also etwa der Krebs der Spiegelung an der Quart, wieder eine Allintervallreihe. Wieviele Allintervallreihen kann man nun auf diese Weise aus einer einzigen Grundreihe durch Anwendung der Transformationen erhalten?

Gruppeneigenschaft der Transformationen

Eine genauere Analyse zeigt, dass es entweder 3 oder 7 zusätzliche Reihen sind, die man erhält. 3 sind es bei den sogenannten symmetrischen Reihen, 7 bei den nichtsymmetrischen Reihen. Symmetrische Reihen sind dadurch gekennzeichnet, dass das sechste Intervall der Intervallreihe der Tritonus ist. Der Krebs ist bei diesen Reihen mit der Umkehrung identisch. Die mit der Ausgangsreihe somit insgesamt 8 erzeugten Reihen werden auch als die 8 Modi der Ausgangsreihe bezeichnet. Modus 1 ist die Reihe selbst, Modus 2 der Krebs, usw. (s.u.)

Es reicht in jedem Fall, zur Ausgangsreihe und den gerade angesprochenen 5 Transformationen noch den Krebs der Umkehrung sowie die Krebse der beiden Spiegelungen hinzuzunehmen. Die symmetrischen Reihen sind dadurch gekennzeichnet, dass der Tritonus (Intervallzahl 6) an der 6. Stelle der Reihe auftritt. Die symmetrischen Reihen sind mit dem Krebs ihrer eigenen Umkehrung identisch. Außerdem gilt für symmetrische Reihen immer, dass der Krebs der Spiegelung an der Quart mit der Spiegelung an der Quint sowie der Krebs der Spiegelung an der Quint mit der Spiegelung an der Quart übereinstimmt. Die Effekte der Nacheinanderausführung der Transformationen können der folgenden Transformationstabelle entnommen werden. Man kann in dieser Tabelle ablesen, was man erhält, wenn man zunächst die Transformationen ausführt, die am linken Rand der Tabelle stehen, und auf das Ergebnis anschließend eine der Transformationen aus der Kopfzeile der Tabelle anwendet. Dabei steht Id für die Ausgangsreihe (also die identische Transfomation), Kr für den Krebs, Um für die Umkehrung, KU für den Krebs der Umkehrung, S4 für die Spiegelung an der Quart, K4 für den Krebs davon, S5 für die Spiegelung an der Quint und K5 für deren Krebs. Diese 8 Modi bilden (als Transformationen) eine Gruppe (aus 8 Elementen) mit der identischen Transformation als neutralem Element.
 

IdKrUmKUS4K4S5K5
Id Id Kr Um KU S4 K4 S5 K5
Kr Kr Id KUUm K4 S4 K5 S5
Um Um KU Id Kr S5 K5 S4K4
KU KU Um Kr Id K5 S5 K4S4
S4 S4 K4 S5 K5 Id Kr UmKU
K4 K4 S4 K5 S5 Kr Id KUUm
S5 S5 K5 S4 K4 Um KU IdKr
K5 K5 S5 K4 S4 KU Um KrId

Dabei fällt auf, dass die Transformationen Id,Kr,Um,KU eine Untergruppe bilden.

Die entsprechende Tabelle für Transformationsgruppen symmetrischer Allintervallreihen kann man auch so schreiben:
 

IdKrUmKUS4K4S5K5
Id Id Kr Kr Id S4 K4 K4S4
Kr Kr Id Id Kr K4 S4 S4 K4
Um Kr Id Id Kr K4 S4 S4K4
KU Id Kr Kr Id S4 K4 K4S4
S4 S4 K4 K4 S4 Id Kr KrId
K4 K4 S4 S4 K4 Kr Id IdKr
S5 K4 S4 S4 K4 Kr Id IdKr
K5 S4 K4 K4 S4 Id Kr KrId

 

Der Krebs stimmt mit der Umkehrung überein und demgemäß ist der Krebs der Umkehrung identisch mit der Ausgangsreihe. Außerdem stimmen der Krebs der Spiegelung an der Quart mit der Spiegelung an der Quint überein und umgekehrt.

Liste aller Allintervallreihen

Es ist also naheliegend, die Allintervallreihen in Gruppen zu ordnen. Jede Gruppe besteht aus 8 Reihen (Symmetrische Gruppen haben 4 Mitglieder). Insgesamt existieren 504 Gruppen, auf die Sie hier über 8 Gruppenlisten (mit je 63 Gruppen) zugreifen können. Dabei sind noch ein paar Worte über die Reihenfolge zu verlieren, in der die Gruppen aufgelistet sind. Jede AIR hat eine Nummer, es geht los mit AIR0001 und endet bei AIR3856. Die Reihen sind dabei aufsteigend nach ihren Intervallnummern sortiert, d.h. die Reihen mit kleinen Intervallen am Anfang kommen vor den Reihen mit größeren Intervallen am Anfang, bei Gleichheit entscheidet dann der an zweiter Stelle stehende Intervallschritt der Reiehn usw. Es geht also los mit den Reihen, die mit c-c# beginnen, und endet mit denen, die mit c-h beginnen. Die Gruppen erscheinen in der Reihenfolge des Auftretens ihrer in diesem Sinne frühesten Mitglieder. Die erste Gruppe (G001) ist die, die die Reihe AIR0001 enthält und so gehts dann weiter.

In den Gruppenlisten sehen Sie jeweils Verweise auf die Gruppenelemente. Jede Gruppe hat eine eigene URL (Gxxx.HTM). Auf dieser Seite finden Sie die lexikografisch erste AIR dieser Gruppe als Grundfolge (Id), danach den Krebs usw. genau in der in den obigen Erläuterungen angegebenen Reihenfolge.
Auf dieser Seite befindet sich jeweils 8 Tabellen, die die der Gruppe angehörigen AIRen auf allen 12 Stufen enthalten sowie die Intervallzahlen der AIR. Außerdem können Sie von jeder AIR zu jeder Transformation dieser Reihe springen.
Wenn Ihr Browser mitmacht, sehen Sie am Fuß der Gruppenseite einen Medien-Abspielknopf, über den Sie sich die aneinandergereihten 8 AIRen, jeweils auf c beginnend, anhören können.

Die Bedeutung der Intervallzahlen auf den AIR-Seiten entnehmen Sie der folgenden Tabelle:
 

Intervallzahlen
Intervallzahl Bedeutung Beispiel
1 kleine Sekunde h-c
große Sekunde h-c#
kleine Terz d-f
große Terz a-c#
Quart e-a
Tritonus c-g#
Quint a-e
kleine Sext h-g>
große Sext g-e
10  kleine Septime c#-a#
11  große Septime c#-c

In der Tabelle wurde an einigen Stellen von der Gleichsetzung eines Intervalls mit seiner Umkehrung Gebrauch gemacht.

Auf jeder der Gruppenseiten befinden sich Verweise auf die anderen, zur gleichen Gruppe gehörenden AIRen sowie Verweise auf die Gruppenliste, die die betreffende Gruppe enthält.

Wenn Ihnen das Herumirren in den Weiten der AIR-Wüste bei laufender Telefonverbindung auf die Nerven geht, können Sie auch alle HTML-Seiten und die dazugehörigen MIDI-Dateien nebst dieser Seite herunterladen (ca.  1,3 MB im zip-Format). Wenn Sie die Daten heruntergêladen haben, entpacken Sie die Datei air.zip mit einem geeigneten Entpackerprogramm (z.B. WINZIP, pkunzip) und laden Sie die Datei air.htm in Ihren Browser.


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(Autor: Stefan Labbé Letzte Änderung: 17.09.02)